三角形定理复习
三角形定理复习
我的数学是有多差了呢？我自己都开始怀疑自己了。其实最初的起因是要学习google的tensorflow，发现需要线性代数和概率统计的知识，于是乎去寻找相关书籍。无意中找到小鬼子的两本《程序员的数学2：概率统计》和《程序员的数学3：线性代数》。决定按照顺序看一下，先复习一下概率统计，似乎这门课程大学应该学过，不过早就还给老师了。
好吧，看书看书，看到了坐标系画图，突然想不明白三角形面积和三角函数了，就只好继续求教度娘了。 开始倒退各类概念，搜索三角函数，正弦，余弦，正切，余切，正割，余割……好像都还给老师了，突然看到一个单位圆的图，30°角在单位圆的坐标为啥是$(\frac{\sqrt {3}}{2},\frac{1}{2})$
度娘一下直角三角形相关定理吧。
直角三角形
直角三角形除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，$∠BAC=90°$，则$AB²+AC²=BC²$（勾股定理)
- 在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若$∠BAC=90°$，则$∠B+∠C=90°$
- 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。
- 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
啥？直角三角形斜边中线定理？
直角三角形斜边中线定理
如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
为啥呢？求证一下：
ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE
∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线
∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）
∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE⊥AB
∴DE是AB的垂直平分线
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴AD=CB/2
呃……中位线？
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。 三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一。
为啥呢？证明一下吧。
如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。 求证DE平行且等于BC/2
证法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF∥AD
∴∠BAC=∠ACF
∵在△ADE和△CFE中
AE=CE、∠AED=∠CEF、∠BAC=∠ACF
∴△ADE≌△CFE（ASA）
∴AD=CF DE=EF
∵D为AB中点
∴AD=BD
∵AD=CF、AD=BD
∴BD=CF
∵BD∥CF、BD=CF
∴BCFD是平行四边形
∴DF∥BC且DF=BC
∵DE=EF
∴在平行四边形DBCF中DE=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.
那如何确定两个三角形全等呢？
全等三角形
SSS（Side-Side-Side）（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。
SAS（Side-Angle-Side）（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
ASA（Angle-Side-Angle）（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。
AAS（Angle-Angle-Side）（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
RHS（Right angle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）（又称HL定理(斜边、直角边)）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。（它的证明是用SSS原理）
好吧，继续学习：
5.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（AD)²=BD·DC
（AB)²=BD·BC
（AC)²=CD·BC
6.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
麻烦了，又出来一个概念，射影定理，继续：
射影定理
射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。
概述图中，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
- BD²=AD·CD
- AB²=AC·AD
- BC²=CD·AC
咋的？又一个概念：比例中项？继续查找：
比例中项
比例中项是一种特殊的比例项，成比例的四个量（包括数或线段），如果内项相等，即比例式为 a:b=b:c，则内项 b 称为外项 a 和 c 的比例中项，这时 a,b,c 成为等比数列或集合数列，所以比例中项亦称为等比中项或几何中项。
好了，回来了，终于知道为啥30°角在单位圆的坐标为啥是$(\frac{\sqrt {3}}{2},\frac{1}{2})$